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小议离心率问题 平面上到一个定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离之比是一个常数 e 的点的轨迹是圆锥曲线，其中点 F 是它的焦点，直线 l 是它的准线，比值 e 是它的离心率.对于给定的圆锥曲线，其 e 是确定的常数，但依据 e 取值范围的不同，所对应的曲线及形状也将发生改变. 当 0,1 e 时，对应的曲线是椭圆.固定 a ，若 e 越大且越接近于 1，则 c 越接近 a ，从而2 2a c b= 越小，即短轴 2b 越短，因此椭圆越扁；反之， e 越小且越接近于 0， c 越接近于 0，从而 b 越接近于 a ，此时椭圆就越接近于圆.当 1 e 时，对应的曲线是抛物线.当 1, e 时，对应的曲线是双曲线.以焦点在 x 轴上的双曲线为例，由221c bea a ，若 e 越大，ba也越大，渐近线by xa 的斜率的绝对值也越大，此时双曲线的形状就变得开阔；反之，双曲线就变得扁狭. 本人根据自己的教学经历及探索，简要归纳了 e 在圆锥曲线中的一些应用：
一、 直接求出 , a c ，求解 e 或构造 , a c 的齐次式，解出 e
例 1 1 椭圆经过原点，且焦点为 0 , 11F 、 0 , 32F ，则其离心率为（
）
解：由 0 , 11F 、 0 , 32F 知 1 3 2 c ，∴ 1 c ，又∵椭圆过原点，∴ 1 c a ， 3 c a ，∴ 2 a ， 1 c ，所以离心率21 ace . 例 例 2 设双曲线 12222 byax（ b a 0 ）的半焦距为 c ，直线 L 过 0 , a ， b , 0 两点.已知原点到直线的距离为 c43，则双曲线的离心率为(
) 解：由已知，直线 L 的方程为 0 ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得cb aab432 2，又2 2 2b a c , ∴23 4 c ab ,两边平方，得 4 2 2 23 16 c a c a ，整理得 0 16 16 32 4 e e ，得 42 e 或342 e ，又 b a 0
，∴ 2 12222 2222 abab aace ，∴ 42 e ，∴ 2 e . 习 习 题 （1）椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为（）。
（2）设椭圆2 22 21( 0)x ya ba b 的两个焦点分别为1 2, F F ,点 P 在椭圆上，且
1 20 PF PF ,1 2tan 2 PF F ,则该椭圆的离心率为（）。
（3）双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点分别为1 2, F F ，1 2120 FMF ,则双曲线的离心率为（）。
二、 构建关于 e 的不等式 或利用判别式 的符号， 求 e 的取值范围
例 3 3 双曲线2 22 21 ( 1, 0)x ya ba b 的焦距为 2c ，直线 l 过点 ( , 0) a 和 (0, ) b ，且点(1, 0) 到直线 l 的距离与点 ( 1, 0) 到直线 l 的距离之和45s c ．求双曲线的离心率 e 的取值范围．
解：直线 l 的方程为 1 byax，即
0 bx ay ab ． 由点到直线的距离公式，且 1 a ，得到点（1，0）到直线 l 的距离2 21) 1 (b aa bd ， 同理得到点（－1，0）到直线 l 的距离2 22) 1 (b aa bd ． .2 22 22 1cabb aabd d s
由 ,54 2,54ccabc s 得
即
. 2 52 2 2c a c a
于是得2 25 1 2 e e ，即4 24 25 25 0 e e ． 解不等式，得
. 5452 e
由于 , 0 1 e 所以 e 的取值范围是552e ． 例 例 4 设双曲线222: 1( 0xC y aa ）
与直线 1 l x y ：
相交于不同两点 , A B ，求双曲线 C的离心率 e 的取值范围。
解：由22211x yxya
得 2 2 2 2(1 ) 2 2 0 a x a x a
24 2 21 04 8 (1 ) 0aa a a ， 解得 0 2 1 a a 且
又221 11aea a 622e e 且
所以6( , 2) ( 2, )2e 。
习题
（1）椭圆 12222 byax（ 0 b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与 x 轴的交点分别为 M 、N ，若2 12 F F MN ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
（2）设双曲线 ) 0 , 0 ( 12222 b abyax的渐近线与抛物线21 y x 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
三、利用221bea 研究 e
例 例 6 过双曲线 ) 0 , 0 ( 12222 b abyax的右焦点 F 作渐近线by xa 的垂线，垂足为 M ，交双曲线的左、右两支分别于 , A B 两点，求双曲线离心率 e 的取值范围。
解：由题意知，MFakb
由于直线 MF 与双曲线两支均有交点，所以MFbka ，即 a bb a
，即2 2b a ，亦即221ba ，故221 2bea ，所以 2, e 。
习题 （1）
双曲线 ) 0 , 0 ( 12222 b abyax的一条渐近线方程为45y x ，则双曲线的离心率为（
）
（2）
双曲线2 21 0 tx y 的一条渐近线与直线 2 1 0 x y 垂直，则双曲线的离心率为（
）
(3)
已知双曲线 12222 byax（ 0 , 0 b a ）的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为060 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（
）
综上可知，离心率 e 在圆锥曲线中的应用非常广泛，虽风格各异，但也有异曲同工之处。这就要求我们教师在教学中注意总结方法，结合相关题型，使学生能够针对性地练习，举一反三，灵活应用，把握住知识点的融汇贯通，做到熟能生巧，左右逢源，那么学生在解决有关离心率的问题时，就会得心应手，满怀信心，挥洒自如。