下面是小编为大家整理的基于大概念观三角函数教学实践与思考,供大家参考。
基于大概念观的三角函数教学实践与思考 作
者：
张阳
作者简介：
张阳（1976-），男，江苏苏州人，吴江高级中学，中学高级教师，研究方向：数学教育（江苏 苏州 215200）.
原发信息：
《中学教研（数学）》(金华)2021 年第 20214 期 第 1-4 页
内容提要：
初高中教材中三角函数教学与函数概念分离，需要以函数大概念观整合教学.大概念教学路径：寻找三角大概念，整合教材重构知识，实现知识情景价值，预留学生发展空间.大概念教学思考：跨学段教科研，具身体验概念，培养自主创新思维.
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键
词：
大概念/具身/创新思维
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2021 年 10 期
一、提出问题
近期，笔者所在教研组对三角函数知识组织了一次问卷调查，调查对象为省四星级中学高一学生，学生学习完必修 1 中的三角函数，尚未学习解三角形与恒等变换，调查内容围绕三角函数与函数知识，共设计 4 个问题项，结果如下：（1）三角函数与函数关系（82.1%的学生认为二者是并列关系，17.9%认为二者是从属关系）；（2）初中与高中三角函数概
念分别是什么（89.2%认为初中三角函数是直角三角形中的三角函数名称定义，与函数无关，94.5%认为高中三角函数是角度与实数的对应关系）；（3）用语言描述初高中三角函数概念的区别（90.5%认为初中三角函数定义与函数无关，92%认为高中三角函数是一种函数）；（4）初中三角函数与初中哪些知识联系紧密，高中三角函数与高中哪些知识联系紧密（86%认为初中三角函数就是解直角三角形，90%认为高中三角函数图象与性质最重要）.
由问卷调查可以得出如下结论：（1）学生认为初中所学三角函数是孤立的，与其他知识不相关；（2）初中与高中所学三角函数不具有连续性，二者研究的内容不同；（3）高中的对应关系普遍能够接受，初中三角函数概念没有感受到变量与变量间的关系；（4）无论初中还是高中三角函数，与常见的一次函数、二次函数等都有很大差异.
二、大概念观下的三角函数教学实践
教材编制的内在逻辑特征可以从 3 个方面理解：首先，教材注重知识的情境性，每一章都有章首语，从现实情景引入问题，如苏科版锐角三角函数章首语“气球有多高，坝底有多宽……锐角三角函数可以帮助我们解决测量……，如果已知小明的身高，并在同一时刻测得小明与旗杆的影长，那么就可以用相似三角形的性质求出旗杆的高度”，突出知识的实用性；其次，教材注重知识的螺旋式上升，如初中函数分布于初二和初三的教学中，高中开始研究函数性质；再次，教材注重大概念统领全局，如初中函数是以变量与变量的关系为大概念，高中函数则是以集合间的对应关
系作为大概念.教师往往过度关注知识的情境化，导致所教知识碎片化，难以形成知识体系.因此，应倡导大概念教学中的情境教学，下面以初中三角函数教学为例进行探寻.
（一）寻找三角大概念，确立教学生长点
函数是中学数学教学的核心内容，时空跨度从初中到高中整个过程，初中函数承载着学生数学认知的升级，即从定量运算到变量间关系，高中函数承载着学生数学认知的另一次升级，从集合角度理解对应关系.
下页表 1 是学生已有的知识储备分析.
由表 1 可知，初中三角函数的大概念是变量与变量间的对应关系；高中三角函数的大概念是基于集合间的对应关系.但是初中课本上的三角函数并没有提到变量与变量的对应，而是强调其应用性.
（二）立足三角大概念，整合教材重构知识
三角函数的概念应从学生已有知识中寻求生长点，从表 1 可知，三角形与圆可以作为三角函数概念生成的生长点.
案例 1 初中三角函数教材重构.
环节 1 问题导入.
请判断下列下页图 1 中角的大小，并说明原因：
生 1：∠AOB＜∠A′OB′，理由是联结 AB，A′B′后，两个三角形在角的两边对应相等的情况下，大边对大角.
师：很好！利用三角形知识得出角与边之间存在一定的关系，那么如何利用三角形的边来准确地刻画出角的大小呢？我们借助直角三角形进一步观察.
生 2：图 2 中∠AOB 与图 3 中∠A′OB′看起来是相同的角，但是需要通过两个直角三角形进行对应比例研究，如果满足 ，那么两个角就是相等的.
师：也就是说在直角三角形中如果仅有一条直角边相等，不能说明两个角相等，至少需要两条边，即∠AOB 的大小与两条边有关.如果我们取OA 与 AB，由前面的函数内容，定义自变量为∠AOB，那么因变量是 OA可以吗？
生 3：不可以，因为在 RtΔAOB 中，OA，AB 可能是同时变化的.
师：那么在 OA，OB 同时变化的过程中，二者有稳定的关系吗？
点评 在学生已有的知识基础上生成新的认知，符合学生的认知规律，在教材开发中，强调已学知识的工具性，即借助直角三角形，探索作为自变量的角与因变量的边之间的关系.三角的特殊性在于因变量无法用一条边来表达，但是学生在学习过全等与相似三角形后，能够指出直角三角形中一个角的大小与两条边有关，再进一步思考两个图形中同时变化的两边，有无统一的关系，即比值，最终得到角作为自变量，对边与邻边的比值作为因变量的三角定义.
在教学引入过程中，始终将函数的定义作为理解的方向，不断强化自变量与因变量的关系探寻，这样的设计符合大概念观的教学理念，有助于学生对所学知识形成系统，融合新旧认知.
（三）应用三角大概念，实现知识情景价值
将知识进行实践应用，可以提高数学知识的理解深度，可以提高学生数学建模的能力.应用三角大概念，可以实现知识情景的价值.
环节 2 情景应用.
例 1 如果测得光线与水平线的夹角为 30°，此时旗杆的影长为 34 m，你能求出旗杆的高度吗？如果测得光线与水平线的夹角分别为 30°和40°时，旗杆的影长相差 5m，你能求出旗杆的高度吗？
生 1：由前面所学正切函数知识可得
师：可以通过计算器求出角的正切值，但是我们需要记忆一些特殊角的正切值.如 .其他角的正切值不需要记忆.
点评 先有情景还是先有知识，应该是辩证关系.从情景到认知，激发学生学习的兴趣，再进一步进行教学；从认知到情景再到认知，让学生面对情景能够联想到知识，但是所拥有的知识并不能够完整地解决知识，需要补充新知，再解决问题.因此选择情景到认知，还是从认知到情景再到认知，应该根据学习内容的难度、情景与内容的联系程度来决定.
上述教学设计选择从认知与情景再到认知，缘于三角函数的抽象性，函数可以发现变量与变量的联系，但是三角函数是 3 个变量间的关系，其中作为变量的两边，需要发现内在联系即比值，再利用比值与角的关系，因此三角函数还可以理解为两次变量间关系的探寻.这一难点的突破，需要大概念的参与，需要所学平面几何、函数的知识基础.选择情景与认知的距离很远，不足以支撑情景到认知的教学设计.
（四）升华三角大概念，预留学生发展空间
大概念观下的数学教学，应从旧知生成，在情景中应用，为深入学习作铺垫，也可以理解为教学以知识的“昨天”“今天”“明天”为教学主线.
环节 3 用函数的方法研究三角.
问题 正切函数在直角三角形中表示为 ，其中涉及 3 个变量 A，a，c，与之前所学的一次函数、二次函数的区别是什么？如何将正切函数与一次函数、二次函数进行统一定义？
生 1：如图 5，可以将 作为整体，令 ，那么正切函数就与一次函数、二次函数等形式上相同了，即 y=tanx.
生 2：正切函数可以认为是两次变量的关系.
师：很好！同学们现在对正切函数的理解比较深入，请同学们预习课本中另外两个三角函数，理解其定义的合理性.
点评 运用统一的大概念理解新知识，让新知成为认知体系的一部分，是大概念教学的核心.在一节课中应该给学生留下发展空间.本节课运用的工具是直角三角形，也可以利用圆的工具，还可以利用坐标系，其中直角三角形是学生认知体系中最底层的知识.
三、基于大概念观的中学数学教学思考
大概念观需要厘清什么是大概念？它与传统教学观的区别？大概念观下的数学学科教学的实践路径是什么？首先大概念是指向学科核心内容和教学核心任务、反映学科本质的、能将学科关键思想和相关内容联系起来的关键的特殊的概念[1].因此，大概念不能狭义地理解为知识概念，可以是某种思想、某个观点、某项主题，具有一定的抽象性质.其次，传统数学教学注重模仿，是从具体问题到具体问题的教学，如教师通过讲解某个知识，再让学生类比解决相似问题，过程为：具体到具体.大概念观的教学是从具体问题到高度抽象的数学知识，再应用抽象的数学知识解决具体问题，其中抽象数学知识是教学的核心环节，没有高度符号化、抽象化的数学教学背离数学学科素养.再次，大概念观下的数学学科教学的实践路径，需要以课程标准为基准，以基本问题为导引，以学习者所能达到的理解水平来架构.
（一）跨学段教科研，形成教师大概念意识
现行的教研体系是以不同学段作为单元进行的，初中数学教师与高中数学教师分别研究相应学段的教学内容，相互间一般不会有教研活动交集.高中教师常抱怨学生在初中阶段没有深入学习因式分解，不理解韦达定
理，不会使用求根公式等.为了解决这个问题，许多学校专门组织骨干教师编制初高中衔接教材对高一新生进行教学.产生这一困境的原因是初高中教师对教材内容、教学重点、教学思想方法的理解缺乏整体性，改变它亟需跨学科教研.
跨学科教研可以依托学校，在教学计划编制时，初高中数学教研组核心成员对教学内容从整体上进行分析梳理.如初中函数的一次函数、二次函数、反比例函数与高中的幂、指数、对数函数如何教学，初中的函数与高中函数的内在联系与区别，初中重点讲解每一个自变量与因变量的内在联系规律，高中重点讲解自变量集合与因变量集合间的对应关系.初高中的函数融合教学促使初中数学教师思考：在教学中如何更加有利于学生进入高中后对概念的理解，有利于高中数学教师从学生的角度理解函数概念，让教学起点与教学落点更加精准.
（二）具身体验概念，生成学生大概念体系
传统教学中，教师创设练习环境，通过训练，以“刷题”为代表的教学模式，培养学生对所接受知识的理解与应用，这种教学使得知识与真实生活场景长期割裂[2].大概念观教学则需要以具身体验为前提，其学习环境从练习转向实践.二者的区别在于知识的完整性与片段性，在于知识的情景性与纯粹性.如 2020 年山东省数学高考第 4 题（日晷问题），大部分学生连题意都无法读懂，更不要说运用数学知识解决问题.正是因为平时教学中没有培养学生从现象到数学的抽象过程，学生只会从数学到数学的解题过程，缺乏具身体验.
大概念体系的构建过程，应该成为教学的主线，让学生完整体验知识的生成性.以三角函数为例，仅从实例应用来引入概念，再到概念应用，学生对知识的提炼不足、抽象不到位，不能够形成完备的大概念.在上述案例中，将数学的纯粹性作为教学重点，学生需要掌握抽象的数学大概念，即变量与变量的关系建立，到角与边的比值关系.在解题中，学生自觉地联系到角与边的比值，从而完成大概念教学的全流程.
（三）确立概念核心，养成学生自主创新思维
教师的课堂教学仅着眼于一节课的内容如何传授，往往会导致学生思维狭窄.在一次市级活动中，一位教师上“正弦函数的图象与性质”，在指导学生作图过程中，无论如何启发，学生都不能将图象作出来.因为教师在课题引入时提问学生什么是正弦函数，学生回答为 ，所以 y=sinx 是正弦函数.教师没有讲清楚二者间的关系，缺少大概念意识，从高中学生角度来说，正弦函数是函数的一种，它仍然是一种对应关系，回到初中知识，自变量与因变量分别是角与比值.学生只有在函数大概念下理解正弦函数，作图才会水到渠成.
数学课堂教学用大概念统领，包括 3 个部分：一是核心概念意识，如本节课中的函数大概念；二是核心思想，如数形结合的思想；三是核心观点，如直线与圆锥曲线的问题可以转化为引入参数，研究此类问题的核心观点就是用代数的方法研究几何问题.教给学生大概念，学生运用大概念组合成解题策略，从而培养学生的创新能力，就如同教会学生搭积木的方法，学生可以自行通过搭积木创造作品.
三角函数在教学中常作为独立的模块进行教学，游离于函数体系之外，不利于学生从整体上掌握函数，大概念观可以很好地解决这一问题在中学数学知识体系中，几何、统计、方程、数的扩充等知识都需要教师在大概念观指导下组织教学，因此大概念观应成为教师教学的重要依据.
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