摘要： 提出一种基于核函数和不同正则化方法进行载荷识别技术研究，以提高识别精度。首先，根据结构系统的逆问题理论和Green核函数方法建立动力学方程；其次，采用正则化技术，如Tikhonov方法、截断奇异值分解（TSVD）方法、LSQR方法等，通过混合方法增加虚拟边界约束条件对不适定性问题求解；最后，结合实际算例和利用混合方法进行载荷识别的数值计算与试验验证。结果表明：混合方法中利用GCV曲线选择最优的正则化参数值，通过Tikhonov结合LSQR方法进行正则化的求解，得到的载荷识别的结果最好。尽管预测数据存在一定的分散性误差，但是识别能力良好、总体误差较小、相关性系数较大。基于Green函数和正则化技术的载荷识别混合方法可以有效地应用到工程实际研究。
关键词： 载荷识别； 结构动力学； 逆问题； 正则化方法；有限元法
中图分类号： O347.1文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0553-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.002
引言
在多数工程技术问题中，结构载荷识别问题可以理解为如何准确求解结构动力学的病态方程[12]。这就需要考虑合理选择结构动力学第二类逆问题的求解技术，常用的一种方法就是正则化方法[34]。国内外学者对如何利用正则化方法求解结构动力学逆问题已经做了大量研究，取得了不少成果[57]。
H G Choi等在载荷识别过程的Tikhonov正则化方法中引入阈值，考虑了振动响应误差放大的影响，且根据矩阵条件数进行预测精度判断 [8] 。Fergyanto E等利用B样条函数逼近冲击载荷，采用Tikhonov正则化，L曲线方法确定正则化参数[9]。Wang等提出了一种改进的迭代正则化方法来解决线性逆问题，通过Morozov偏差原理确定正则化参数[10]。肖悦等对含噪信号基于奇异熵的去噪处理方法，同时利用正则化方法对共轭梯度迭代算法进行预优，提高逆问题求解中输入数据的精度和改善其非适定性[11]。卢立勤等提出共轭梯度最小二乘迭代正则化算法和启发式迭代收敛终止准则，该方法在载荷识别过程中不需要对传递矩阵求逆和明确正则化参数的优点，但响应数据误差对正则化算法的迭代步数和收敛速度影响较大 [12]。You Jia等对于随机载荷识别中的误差影响和不适定问题，提出基于适当正交分解的加权正则化方法，并通过广义交叉验证方法（简称GCV方法）选取正则化参数[13]。Baijie Qiao 等研究了一种基于函数系数向量范数最小化的一般稀疏正则化方法，通过可分离近似的稀疏重构，解决力识别的稀疏正则化问题[14]。M Aucejo和O De Smet构建乘法正则化，以迭代的方式计算正则化解，求解过程中不需要预先定义正则化参数[15]。Gang Yan等在重建冲击力时间历程时，采用基于Bayesian推导的正则化问题的逆问题分析方法，用状态空间模型来解决影响力重构的问题[16]。Zhen Chen 和Tommy H T Chan 针对移动载荷识别过程中的病态问题，采用截断广义奇异值分解方法寻求不适定方程的解 [17] 。
为了能够迅速提高结构动载荷识别结果的准确性，在众多文献的研究基础上，本文提出一种基于核函数和正则化的混合方法进行载荷识别技术研究，以提高识别精度。这种方法主要是基于结构振动响应的载荷识别技术的混合计算方法，通过比较结构载荷识别技术的几种典型方法，以及L曲线和GCV曲线的正则化参数选取准则的研究，提出一种混合识别方法，且将仿真与试验结果结合起来进行比较性研究，以期望提高结构载荷识别的精度。
1理论背景1.1基于Green核函数建立正问题考虑线性动态系统的载荷识别问题，假设系统对单位冲击载荷δ（t）的响应，即由载荷作用点到响应测量点的Green函数为z（t）。根据叠加原理，激励和系统响应之间表示为如下卷积形式z（t）=∫t0H（t-τ）f（τ）dτ（1）式中H（t-τ）表示结构脉冲响应的Green核函数，z（t）表示系统的动态响应，响应数据可以是应力应变、位移、速度和加速度等。
FM（5）式中M和N分别表示载荷点和响应测量点的数目，且需要保证N≥M，能够满足方程正定的或者超正定的条件。方程（5）表示多输入多输出系统的线性离散方程模型。
1.2正则化方法
求解结构动力学方程不适定问题的方法主要是根据与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解。如何建立有效的正则化方法是求解动力学逆问题中不适定问题的重要内容。正则化理论（Regularization Theory）主要用于线性代数理论中求解具有很大条件数的不适定性的逆问题。正则化理论主要目的是提供有效稳定的数值分析方法，包括能够产生稳定的解与合适的边界约束。在已知边界约束情况下，通过选择最优的正则化参数，保证其对未知解的良好近似。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov方法、截断奇异值分解（TSVD）方法、LSQR方法和各种迭代方法以及其他一些改进算法。这里对一些典型的正则化方法做简单介绍。
1.2.1Tikhonov方法
Tikhonov正则化的动态载荷识别方法主要步骤包括：建立离散线性系统的方程；Tikhonov正则化方法的求解；选取最优的正则化参数。Tikhonov正则化方法可以考虑为优化问题minf∈RnHf-z22+α2f22（6）式中·22表示向量2范数的平方。α（α>0）为正则化参数，是一个常数，主要控制残差范数Hf-z22和解的范数f22之间的相对大小。为了更好地获得近似真实解，α的值应该越小越好，但是考虑到数值稳定性，α的值应该越大越好，这就需要优化地选择该参数。方程（6）目标函数的准确形式为fTHTH+α2If-2zTHf+zTz（7）根据目标函数的梯度等于零的概念，方程（7）的最小二乘解為HTH+α2If=HTz（8）根据方程（8）推导载荷的表示形式f=HTH+α2I-1HTz（9）式中I记作单位矩阵，HTH+α2I-1HT称为正则化算子。